PERIODO4 TEMA1 GRADO6 MATE

 

LAS OPERACIONES DE LOS NUMEROS RACIONALES        

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SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

En esta clase vamos a ver la suma y resta de fracciones, así como las operaciones combinadas de suma y resta y la representación gráfica de la suma y resta de fracciones.

Suma de fracciones

Para sumar fracciones es necesario que las fracciones tengan el mismo denominador.

En la suma de fracciones pueden darse dos casos:

• Que las fracciones tengan el mismo denominador
• Que las fracciones no tengan el mismo denominador

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Suma de fracciones con el mismo denominador

Para sumar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

Suma de fracciones con el mismo denominador

Por ejemplo:

−34+54=−3+54=24

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Suma de fracciones con diferente denominador

Para sumar fracciones que tienen diferente denominador, tenemos reducir las fracciones a común denominador y después las sumamos.

Es decir, se cambian las fracciones dadas por otras equivalentes a ellas pero que tengan el mismo denominador. Este cambio es lo que se llama reducción a común denominador.

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Reducción de fracciones a común denominador

Para reducir fracciones a común denominador hay dos métodos:

• El método de los productos cruzados
• El método del mínimo común múltiplo

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a) El método de los productos cruzados

Se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por el producto de los denominadores de las otras fracciones.

Ejemplo:

32+−53=3×32×3+(−5)×23×2=9+(−10)6=9−106=−16

Una forma más rápida de hacer esta operación es la siguiente:

En el numerador de la fracción suma ponemos la suma de todos los numeradores multiplicados por el producto de los numeradores de las otras fracciones

En el denominador ponemos el producto de todos los numeradores:

32+−53=(3×3)+(−5×2)2×3=9+(−10)6=9−106=−16

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b) El método del mínimo común múltiplo

Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores:

En el ejemplo:32+−53

m.c.m. (2, 3) = 6

2 = 2

3 = 3

El m.c.m. calculado es el nuevo denominador de todas las fracciones equivalentes

32=x6

−53=x6

Para calcular los numeradores de las nuevas fracciones equivalentes, se divide el denominador de la nueva fracción entre el denominador de la primera fracción y el resultado se multiplica por el numerador de la primera fracción.

32=(6÷2)×36=96

−53=(6÷3)×(−5)6=−106

Luego ya podemos sumar las nuevas fracciones equivalentes:

96+−106=9+(−10)6=9−106=−16

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Resta de fracciones

La diferencia o resta de dos fracciones se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo

Resta o diferencia de fracciones

Por ejemplo:

54−34=54+−34=5+(−3)4=5−34=24 54−−34=54++34=5+(+3)4=5+34=84

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Equivalencias fundamentales

Si ab , cd y mn son fracciones, las siguientes igualdades son equivalentes:

Por ejemplo:

12+22=32↔22=32−12↔12=32−22

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Sumas y restas combinadas

Signos de las fracciones positivas

Las fracciones positivas tienen el mismo signo en el numerador y en el denominador

+3+5 en la práctica se escribe así: 35

−3−5 en la práctica se escribe así: 35

+35 en la práctica se escribe así; 35

Signos de las fracciones negativas

Las fracciones negativas tienen el numerador y el denominador con distinto signo:

−3+5 en la práctica se escribe así: −35

3−5 en la práctica se escribe así: −35

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Sumas y restas combinadas

Generalmente, la suma de fracciones se escribe prescindiendo de los paréntesis de los sumandos y de los signos de sumar.

Por ejemplo:

(−32)+(+12)+(−2)+(14)

Se escribe generalmente así;

−32+12−2+14

Para hacer esta operación se hace lo siguiente:

1. Se suman los números que llevan signo +

12+14=24+14=34

2. Se suman los números que llevan signo –

32+2=32+21=32+42=72

3. Se hace la resta de los positivos menos los negativos

34−72=34−144=3−144=−114=−114

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La supresión de los paréntesis

a) Cuando el paréntesis va precedido del signo mas (+) se elimina el paréntesis sin cambiar ningún signo

+(12−13)=12−13

b) Cuando el paréntesis va precedido del signo menos (-) se puede eliminar el paréntesis cambiando todos los signos del interior del paréntesis.

−(12−13)=−12+13

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Representación gráfica de la suma de fracciones

Para representar una suma de dos fracciones gráficamente existen dos casos:

a) Cuando a una fracción cualquiera le sumamos una fracción positiva.

b) Cuando a una fracción cualquiera le sumamos una fracción negativa.

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Cuando a una fracción cualquiera le sumamos una fracción positiva

Si a una fracción cualquiera le sumamos otra fracción positiva, la suma de ambas se situará en la recta en el punto resultante de desplazar desde el punto donde está la primera fracción hacia la derecha la cantidad expresada por la segunda fracción.

A una fracción cualquiera le sumamos una fracción positiva.

24+16=(2×6)+(1×4)4×6=12+424=1624=46

 

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Cuando a una fracción cualquiera le sumamos una fracción negativa

Si a una fracción cualquiera le sumamos otra fracción negativa, la suma de ambas se situará en la recta en el punto resultante de desplazar desde el punto donde está la primera fracción hacia la izquierda la cantidad expresada por la segunda fracción.

A una fracción cualquiera le sumamos una fracción negativa.

24+−16=(2×6)+[(−1)×4]4×6=12+(−4)24=824=26

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Representación gráfica de la resta de fracciones

Para representar una resta de dos fracciones gráficamente existen dos casos:

a) Cuando a una fracción cualquiera le restamos una fracción positiva.

b) Cuando a una fracción cualquiera le restamos una fracción negativa.

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Cuando a una fracción cualquiera le restamos una fracción positiva

Si a una fracción cualquiera le restamos otra fracción positiva, la resta de ambas se situará en la recta en el punto resultante de desplazar desde el punto donde está la primera fracción hacia la izquierda la cantidad expresada por la segunda fracción.

Este es un caso idéntico a sumar a una fracción cualquiera, otra fracción negativa.

A una fracción cualquiera le restamos una fracción positiva. Esto es equivalente a sumarle una fracción negativa.

24−16=24+−16=(2×6)+[(−1)×4]4×6=12+(−4)24=824=26

Cuando a una fracción cualquiera le restamos una fracción negativa

Si a una fracción cualquiera le restamos otra fracción negativa, la resta de ambas se situará en la recta en el punto resultante de desplazar desde el punto donde está la primera fracción hacia la derecha la cantidad expresada por la segunda fracción.

A una fracción cualquiera le restamos una fracción negativa. Esto equivale a sumarle una fracción positiva.

Este es un caso idéntico a sumar a una fracción cualquiera, otra fracción positiva.

24−(−1)6=24+16=(2×6)+(1×4)4×6=12+424=1624=46

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

¿Cómo se multiplican las fracciones?

La multiplicación de fracciones se hace, entre otras cosas, cuando queremos hallar la fracción. Por ejemplo, si queremos hallar los 23 de 52, tenemos que multiplicar las dos fracciones:

23 de 52 =23⋅52

Para multiplicar fracciones se escribe como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores

Multiplicación de fracciones

Por ejemplo:

−12×35=(−1)×32×5=−310

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Simplificación de fracciones ¡Cuidado al simplificar!

En ocasiones, antes de multiplicar fracciones conviene simplificar

Si los términos de la fracción están descompuestos en productos sí se puede simplificar. Si están descompuestos en sumandos no se puede simplificar.

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Cómo se hace la división de fracciones

Para hacer la división de fracciones multiplicamos el dividendo por el inverso del divisor

División de fracciones

 Por ejemplo:

83÷12=83⋅21=8⋅23⋅1=163

En otras palabras:

Fórmula para dividir fracciones

•En el numerador ponemos el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción

•En el denominador ponemos el producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción

Para que se pueda dividir un número racional ab (dividendo) entre otra fracción cd (divisor), es necesario que el divisor sea distinto de cero cd≠0

Ejemplo 1: 83÷12=163

Ejemplo 2: 83÷02=160 → Esto no es un número racional.

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Equivalencias fundamentales

Estas equivalencias fundamentales se cumplen siempre en la división de fracciones y también en la multiplicación.

En general, si m, p y q son tres fracciones distintas de cero se verifican las tres siguientes igualdades que reciben el nombre de equivalencias fundamentales

Equivalencias fundamentales

•Las fracciones que multiplican a un lado del igual pasan dividiendo al otro lado del igual

•Las fracciones que dividen a un lado del igual pasan multiplicando al otro lado del igual

23=75⋅1021⇔75=23÷1021⇔1021=23÷75

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Fracciones de términos no enteros y fracciones de términos racionales

Como las fracciones son cocientes, se escriben indistintamente:

Con raya de fracción (Undefined control sequence \square)

Con dos puntos (÷)

Por ejemplo:

−32=−3÷2

25=2÷5

Pero a veces, los términos de las fracciones no son números enteros:

Fracciones de términos no enteros

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Simplificación de fracciones de términos racionales

Para simplificar fracciones de términos racionales seguimos los siguientes pasos:

1) Se hacen separadamente las operaciones en el numerador y en el denominador

2) Se transforma la fracción de términos racionales en cocientes de fracciones de términos enteros y luego se hace la división

3) Si es posible, se simplifica la fracción obtenida

Por ejemplo: 2+5334−13

• Se hacen separadamente las operaciones en el numerador y en el denominador:

2+5334−13=6+539−412=113512

• Se transforma la fracción de términos racionales en cocientes de fracciones de términos enteros y luego se hace la división:

113512=113÷512=11×125×3

• Si es posible, se simplifica la fracción obtenida:

11×125×3=11×3×45×3=445

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