PERIODO3 TEMA1 GRADO6 MATE

 POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS ENTEROS 

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RECUERDE 

1. Tomar fotos a la actividad realizada en el cuaderno y subirla a la plataforma Classroom, colpegasus preferiblemente también puede enviar a WhatsApp o correo electrónico Cada hoja debe tener su nombre completo.
2. Tutorías los días miércoles de 10:00am a 12:00mm
3. Presentar Examen Virtual .

POTENCIAS DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL

Potencias de base entera

Una potencia es un producto de factores iguales, es decir, es una multiplicación donde un número se multiplica por sí mismo un número de veces. Las potencias de base entera son potencias que tienen como base un número entero.

Por ejemplo: (-2) · (-2)

En este caso se multiplica el número (-2) por sí mismo dos veces. Si queremos expresar esto en forma de potencia lo expresaríamos como (-2)²

Otro ejemplo : 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴

En este caso el número 3 se multiplica por sí mismo 4 veces.

(-2)⁴ = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16

En la potencia (-2)⁴, el factor que se repite (en este caso -2) se llama base, y el número de veces que se repite (en este caso 4) se llama exponente.

Las potencias que tienen como exponente el 2 se llaman cuadrados, y a las que tienen como exponente 3 se llaman cubos:

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Nota muy importante

No es lo mismo por ejemplo (-2)2 que -22

Cuando hacemos (-2)2 estamos elevando al cuadrado el signo negativo de la base  y el resultado sería 4. En este  caso estamos hablando de una potencia de base negativa

Cuando hacemos -22 el signo no lo estamos elevando al cuadrado, por lo que el resultado va a ser siempre negativo ya que el signo no se ve afectado por la potencia. En este caso el resultado sería -4. En este caso estamos hablando de una potencia de base positiva (Recuerda que la base es lo que se multiplica las veces que indica el exponente, y en este caso la base es 2 y no -2).

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Potencias de exponente 0

 Cualquier número elevado a cero siempre va a dar como resultado 1

Ejemplos:

2⁰ = 1

(-3)⁰ = 1

4⁰ = 1

(-2500)⁰ = 1

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Potencias de exponente 1

Cualquier número elevado a uno siempre va a dar como resultado la misma base

Ejemplos:

2¹ = 2

(-3)¹ = -3

4¹ = 4

(-2500)¹ = -2500

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Signo de la potencia

Cuando la base es un número entero positivo o natural, el resultado de la potencia va a ser un número entero positivo o natural

Cuando la base es un número entero negativo, el signo de la potencia va a depender de si el exponente es par o impar. Si el exponente es par la potencia va a ser positiva, y si el exponente es impar la potencia va a ser negativa.

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VÍDEOS DE LA CLASE

Busca el vídeo que te interesa haciendo click en la lista de reproducción (que está en esquina superior izquierda del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar.

 

RAÍCES DE UN NÚMERO ENTERO

¿Qué es la raíz de un número?

Raíces de un número entero. La raíz enésima de un número b es otro número a tal que a elevado a la enésima potencia dé b.

Podemos decir que hacer la raíz enésima de un número es la operación contraria de elevarlo a la enésima potencia.

Para hallar la raíz enésima de un número b, tenemos que encontrar un número o números que elevados a n nos den el número b.

Por ejemplo, 32−−√5→ Raíz quinta de 32.

Para calcular esta raíz, tendríamos que buscar un número que elevado a 5 nos diese 32. En este caso:

32−−√5={+2−2 porque (+2)5=32 y (−2)5=32

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Casos particulares: raíz cuadrada y raíz cúbica

La raíz cuadrada

 La raíz cuadrada de un número b es otro número a tal que a elevado al cuadrado dé b.

Raíz cuadrada de un número b

Cuando un número entero se eleva a la potencia 2, es decir, al cuadrado, se obtiene otro número que se llama cuadrado perfecto.

Por ejemplo: 22 = 4 , entonces 4 es el cuadrado perfecto de 2

La raíz cuadrada de 4 se representa así: 4–√ o también así: 4–√2

Para hallar la raíz cuadrada de 4 tenemos que encontrar un número que elevado al cuadrado nos dé 4:

Por ser (+2)2 = 4 se dice que +2 es una raíz cuadrada de 4

Por ser (-2)2 = 4 se dice que -2 es una raíz cuadrada de 4

Se escribe 4–√={+2−2 o bien 4–√=±2

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La raíz cúbica

La raíz cúbica de un número b es otro número a tal que a elevado al cubo dé b

Raíz cúbica de un número b

Cuando un número entero se eleva a la potencia 3, es decir, al cubo, se obtiene otro número que se llama cubo perfecto.

Por ejemplo:  2³ = 8 ⇒ 8 es el cubo perfecto de 2.

La raíz cúbica de 8 se representa así: 8–√3

Para hallar la raíz cúbica de 8 tenemos que encontrar un número que elevado al cubo nos dé 8:

Por ser (+2)³ = 8 se dice que +2 es una raíz cúbica de 8

Por ser (-2)³ = -8 se dice que -2 es una raíz cúbica de -8

+2 es una raíz cúbica de 8

-2 es una raíz cúbica de -8

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Partes de una raíz

Las partes de una raíz son: Índice, radicando y raíz.

En el ejemplo: 243−−−√5=3

El radicando sería 243 (b = 243)

El índice sería 5 (n = 5)

La raíz sería 3 (a = 3)

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Raíces  de los números positivos, negativos y del cero

Raíces de los números positivos

Los números positivos pueden tener dos raíces: una positiva y/o una negativa. En algunos casos no vamos a encontrar raíces de números positivos:

Al valor positivo se le llama valor aritmético.

Cuando el índice sea un número par  vamos a encontrar dos soluciones: una positiva y una negativa. Por ejemplo:

625−−−√4=±5 porque {(+5)2=625(−5)2=625

Cuando el índice sea un número impar, sólo vamos a encontrar una solución positiva. Por ejemplo:

8–√3=+2 porque (+2)3=8. Aquí -2 no nos valdría porque (−2)3=−8≠8

Raíz del número cero

El número cero tiene una sola raíz , que es 0

La raíz de cero siempre es cero

Raíces de los números negativos

Los números negativos pueden o no tener raíz, dependiendo de si el índice es par o impar.

a) Si el índice es par

Si el índice es par, los números negativos no van a tener raíz.

Por ejemplo, si queremos calcular −4−−−√2 , tenemos que encontrar el o los números que elevados al cuadrado nos den -4, y no existe ningún número que elevado al cuadrado nos dé -4 (ningún número elevado a una potencia par nos va a dar negativo).

b) Si el índice es impar

Si el índice es impar, los números negativos van a tener solo una raíz negativa.

Por ejemplo, si queremos calcular −8−−−√3, tenemos que encontrar el o los números que elevados al cubo nos den -8, y el único número que cumple esto es el -2:

 −8−−−√3=−2 porque (-2)³  = -8

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Raíz  exacta y raíz entera

Si queremos calcular la raíz de un número entero, pueden ocurrir dos casos:

Raíz exacta

Que tengan una raíz exacta, es decir, que el número sea una potencia perfecta, en cuyo caso tiene una raíz cuadrada exacta.

81−−√2=9→92=81 → 81 tiene raíz (en este caso cuadrada) exacta, que es 9.

27−−√3=3→33=27→ 27 tiene raíz (en este caso cúbica) exacta, que es 3

Raíz entera

Que tengan una raíz entera, es decir, que el número no sea una potencia perfecta, en cuyo caso estará entre dos potencias perfectas consecutivas.

 52−−√ no es cuadrado perfecto (porque no hay ningún número entero que elevado al cuadrado nos dé 52) y por lo tanto no tiene raíz cuadrada exacta.

Pero 52 está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 49 (que es 7²) y 64 (que es 8² )

Raíz entera por defecto

Si se compara 52 con el cuadrado perfecto anterior (49), se obtiene la raíz entera por defecto:

Raíz entera por defecto

Raíz entera por exceso

Si se compara 52 con el cuadrado perfecto superior (64), se obtiene la raíz cuadrada entera por exceso:

Raíz entera por exceso

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Cálculo manual de la raíz cuadrada

1. Se separan en el número, de derecha a izquierda, grupos de dos cifras. El primer grupo de la izquierda puede tener una o dos cifras:1165−−−−√=11.65−−−−√
2. Se halla la raíz cuadrada del grupo de la izquierda. El número cuyo cuadrado se acerca más a 11 es 3 (32 = 9). Por tanto, la primera cifra de la raíz es 3, y se calcula la diferencia: 11 – 9 = 2

3. A la derecha del resto (2) se baja el grupo siguiente de cifras (65), y debajo de la raíz hallada (3) se escribe su doble (6)

   De 265 se separa la cifra de la derecha (5), y al número que queda a la izquierda (26) se le divide entre 6, doble de la raíz hallada.

   El cociente (4) se pone a continuación de 6 y se forma el número 64.

4. El número 64 se multiplica por 4 y da 256. Como 256 es menor que 265, la cifra 4 vale y se puede pasar a la raíz. El resto es 265 – 256 = 9
   

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Los radicales

Un radical es una expresión del tipo:

En el radical ba−−√n , el número a se llama radicando y el b se llama coeficiente del radical.

Cuando dos radicales tienen el mismo radicando y el mismo índice, se llaman radicales semejantes, por ejemplo 36–√2 y 26–√2.

Cuando n = 2, es decir, cuando se trata de una raíz cuadrada, a los radicales se le llaman radicales cuadráticos.

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Extracción de factores de un radical

La extracción de factores de un radical consiste en descomponer el radicando en un producto de factores primos para después extraer fuera del radicando aquellos factores cuya potencia es múltiplo del índice.

Esto sirve para simplificar radicales y nos permite, en muchas ocasiones, sumar o restar radicales que no tienen en mismo radicando.

Por ejemplo, si queremos simplificar 36−−√2, primero tenemos que hacer una descomposición factorial de 36, es decir, tenemos que descomponer el número 36 en factores primos.

Entonces 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²

36−−√=22⋅32−−−−−√=22−−√⋅32−−√=2⋅3=6

36−−√=6

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VÍDEOS DE LA CLASE

Busca el vídeo que te interesa haciendo click en la lista de reproducción (que está en esquina superior izquierda del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar.

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CUESTIONARIO

Queridos Estudiantes

A continuación está el link del examen didáctico del tema POTENCIAS Y RAICES.

Por favor al ingresar al examen escribir su primer nombre y su primer apellido,

El examen solicita un correo electrónico, no es obligatorio (puede darle click en “omitir por ahora”) 

Pero, Si registran el correo de su acudiente, por favor  me envían el correo, el nombre del padre o acudiente y el nombre del estudiante al WhatsApp o al Classroom.

¡¡Vamos con entusiasmo, es muy fácil y divertido!!

Por favor realizar el examen una sola vez.

Para seguir jugando, darle click en “encuentra un nuevo cuestionario”. Y jugar las múltiples alternativas y temas disponibles.

http://quizizz.com/join?gc=0424379

También puede entrar ingresando a Quizziz y luego digitando el siguiente código. 0424379

En el siguiente cuadro miramos la relación entre las dos operaciones

 

EXPONENTE                                                                          =  25       POTENCIA           BASE               ELEMENTOS		La POTENCIA: es una operación que permite escribir de forma abreviada  una multiplicación  de    factores iguales.     Para el número natural a se cumple que:      =	ÍNDICE                RADICANDO                                  = b   RAIZ                          RADICAL             ELEMENTOS	La RADICACION  es la operación inversa de la potenciación. La radicación entre un número  a llamado radicando y otro número natural n llamado índice es igual a un número b llamado raíz, que elevado a la potencia n da como resultado el número a.
			ÍNDICE: número ubicado sobre el radical y es el numero al cual se debe elevar la raíz para obtener la cantidad subradical	RAÍZ:  resultado de la radicación, es el número que elevado al índice de la raíz, da como resultado la cantidad subradical
EXPONENTE: Número de veces que se repite la base	POTENCIA: es el resultado de multiplicar la base el número de veces  que dice el exponente	BASE: Factor que se repite  según las veces que indica el exponente	RADICAL: símbolo que se utiliza para denotar la radicación.	CANTIDAD SUBRADICAL O RADICANDO: número ubicado dentro del radical , este número es al que se le calcula la raíz
EJEMPLO: halla la potencias de  y   la potencia de   a.      = 3x3x3x3       = 81 b.      = 10 x 10 x 10 x 10         =  10000			EJEMPLO: hallar la  y se busca un número que multiplicado tres veces me de 125 en el primer caso y en el segundo caso un número que multiplicado dos veces me de 144 entonces. a.       La raíz cubica de 125 es 5 porque 5x5x5 = 125 b.       La raíz cuadrada de 144 es 12 porque 12x12 =144

·         CUANDO LA BASE EN LA POTENCIACION ES  NEGATIVA Y  EXPONENTE ES UN NUMERO PAR  LA POTENCIA SIEMPRE ES POSITIVA.  EJEMPLO: = (-3) X (-3) X (-3) X (-3) = 81

CUANDO LA BASE ES NEGATIVA Y EL EXPONENETE ES  UN  NUMERO   IMPAR ENTONCES LA POTENCIA ES NEGATIVO. EJEMPLO:  = (-3) X (-3) X (-3) = -27