NUMEROS RACIONALES

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Los números racionales (Fracciones)

En esta lección vamos a ver los números racionales (fracciones) de una forma global. Lo que son, cómo identificarlos, qué son fracciones equivalentes y cómo se calculan, tanto por simplificación como por amplificiación. También veremos el conjunto de los números racionales, cómo representarlos en un gráfico y cómo compararlos (es decir, cómo saber cuál es el mayor o el menor de dos o más fracciones).

¿Qué es una fracción?

Fracciones. Conceptos básicos.

Una fracción expresa una parte de la unidad (de un total, de una cosa) dividida en trozos iguales.

Fracciones. Conceptos básicos
Utilizamos las fracciones para expresar la cantidad de tarta que queda en una bandeja, para indicar la parte del puzzle construido, para calcular qué parte de un trayecto se ha recorrido…

$02. Que es una fraccion 2. Optimizada$

Partes de una fracción

Una fracción consta de dos términos: el numerador y el denominador:
El denominador (b) es el número de partes iguales en que dividimos un objeto o unidad y el numerador (a) es el número de partes que tomamos.

03. Partes de una fraccion. Optimizada — Partes de una fracción

Cómo se leen las fracciones

Para leer una fracción se lee primero el numerador y después el denominador.

$04. como se leen las fracciones 1. Optimizada$
Según sean los denominadores: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, las fracciones se leen:

$05. como se leen las fracciones 2. Optimizada$

Significado de fracción

Una fracción de términos positivos como la fracción 23 se puede interpretar de varias formas, es decir, tiene varios significados.

La fracción como una o varias partes de un objeto o unidad.

Ejemplo: Un pintor ha pintado los 23 de una pared. En este caso el denominador (3) indica las partes en que se divide el objeto o unidad (en este caso la pared) y el numerador (2) indica las partes que se han pintado.

$06. La fraccion como una o varias partes de un objeto o unidad. Optimizada$

La fracción como un cociente de dos números

Una fracción es el cociente de dividir el numerador entre el denominador.
Por ejemplo, la fracción 23 es el cociente de dividir 2 entre 3, es decir, 2÷3 = 23

En una división a÷b, el divisor no puede ser cero. Por eso:

$07. La fracción como cociente de dos números. Optimizada$

La fracción como resultado de una medida

Cuando medimos segmentos usamos el significado de fracción como resultado de una medida.
Por ejemplo, el segmento CD es 23 del segmento AB (CD = 23 AB)
En este ejemplo, la fracción 23 significa que la medida del segmento CD es 23 tomando como unidad el segmento AB.

$08. La fracción como resultado de una medida. Optimizada$

La fraccción como operador

La fracción 35 se puede interpretar como un operador o función que actúa sobre los números primero multiplicándolo por el numerador (3) y luego dividiendo el resultado entre el denominador (5).

$09. La fracción como operador. Optimizada$

Fracciones de términos enteros

Los términos de las fracciones que hemos visto hasta ahora eran números naturales en las que el denominador era distinto de cero.

10. Fracciones de términos enteros 1. Optimizada
Pero también podemos formar fracciones cuyos términos sean números enteros y el denominador sea distinto de cero.

Los siguientes pares de números son fracciones que tienen por términos números enteros:

11. Fracciones de términos enteros 2. Optimizada

El conjunto de las fracciones de términos enteros

Sabemos que el conjunto de los números enteros es el conjunto ℤ

12. Conjunto z. Optimizada
Existe también el conjunto ℤ*, que es el conjunto de todos los números enteros excepto el cero, es decir:

13. conjunto z ast 1. Optimizada
O también:

14. Conjunto z ast 2. Optimizada
El conjunto infinito F de todas las fracciones de términos enteros se obtiene haciendo el producto cartesiano ℤ X ℤ y escribiendo los pares ordenados (a,b) en forma de fracción ab

15. Conjunto infinito. Optimizada

VÍDEOS DE LA CLASE

Busca el vídeo que te interesa haciendo click en la lista de reproducción (que está en esquina superior izquierda del reproductor). Los ejercicios los tienes más abajo en PDF por si los quieres hacer o descargar.

LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES

La representación gráfica de fracciones en la recta numérica

Vamos a ver cómo se hace la representación gráfica de fracciones. Si sobre una recta r se señala un punto fijo 0 (al que llamamos origen), que representa el número 0, y llevamos a la derecha y a la izquierda del punto 0 un segmento unidad, resulta una serie de puntos sobre la recta. Estos puntos representan a los números enteros: los positivos a la derecha del punto 0 y los negativos a la izquierda del punto 0.

01-segmento-unidad-optimizado — Segmento unidad

Si cada segmento unidad se divide en dos partes iguales, quedan representadas las fracciones de denominador 2.

Representación fracciones 1 — En este caso, cada unidad esta dividida en dos partes iguales.

Si cada segmento unidad se divide en tres partes iguales, quedan representadas las fracciones de denominador 3.

Representación fracciones 2 — En este caso, cada unidad está dividida en tres partes iguales

Si se continúa representando del mismo modo las fracciones de denominadores 4, 5, 6,…. Se observa que las fracciones equivalentes quedan representadas por el mismo punto. Por eso cada número racional viene representado por un solo punto en la recta.

Representación fracciones 3 — Cada número racional viene representado por un solo punto en la recta

Representación de las fracciones de denominador negativo

Ya sabemos que para cada fracción de denominador negativo existe otra fracción equivalente con el denominador positivo.

1−2=1×(−1)(−2)×(−1)=−12↦1−2=−12

−2−3=(−2)×(−1)(−3)×(−1)=23↦−2−3=23

0−3=(0)×(−1)(−3)×(−1)=03↦0−3=03

Así, las fracciones −2−3 , 1−2 , 0−3 , −5−6 son equivalentes a las fracciones 23 , −12, 03 , 56 , respectivamente.

Por esta razón las fracciones de denominador negativo están representadas en la recta numérica por el mismo punto que sus equivalentes de denominador positivo.

$Representación fracciones 4$

Los conjuntos ℕ, ℤ y ℚ

Ya sabemos que los números naturales se pueden identificar con los números enteros positivos.

03-los-conjuntos-n-y-z-optimizado

Esto significa que el conjunto ℕ de los números naturales es un subconjunto del conjunto ℤ de los números enteros: ℕ⊂ℤ

04-los-conjuntos-n-y-z-representacion-optimizado

Como los números enteros se pueden identificar con los números racionales de denominador 1, es decir, a=a1 , resulta entonces que ℤ es un subconjunto de ℚ:

05-representacion-de-n-z-y-q-optimizado

Por ejemplo:

El número natural 5 se identifica con el entero positivo +5 y también con el número racional positivo 51

El número entero negativo -5 se identifica con el número racional −51

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NUMEROS RACIONALES

Los números racionales (Fracciones)

¿Qué es una fracción?

Partes de una fracción

Cómo se leen las fracciones

Significado de fracción

La fracción como una o varias partes de un objeto o unidad.

La fracción como un cociente de dos números

La fracción como resultado de una medida

La fraccción como operador

Fracciones de términos enteros

El conjunto de las fracciones de términos enteros

VÍDEOS DE LA CLASE

LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES

La representación gráfica de fracciones en la recta numérica

Representación de las fracciones de denominador negativo

Los conjuntos ℕ, ℤ y ℚ

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